[題解]TIOJ 1211 最小生成樹

2021年01月01日•資芽題解•

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這一題手刻最小生成樹，感覺蠻好的，都是利用一些性質來實作最小生成樹。

最小生成樹的性質

性質一：樹

最小生成圖一定會是一棵樹，不具備環，且一共有n-1條邊如果這張圖不是樹，則必定有環，即代表可以再拔掉一條邊使權重和更小

性質二：Cycle Property

C是圖上的一個環，e是C上權重最大一條邊，則e必不在MST一部分（證明：反證，假設e在MST，則加入另一邊比e權重更小形成環，此時把e拔掉可以形成更小的權重和，因此矛盾）

性質三：Cut Property

把圖上的點集分割成兩半，則cut上面的邊集合中最小權重的邊e會在MST裡面（證明：反證，假設e不在MST，則加入e會形成連接兩半節點的環，此時拔掉另一比e權重大的邊，會形成更小權重和，因此矛盾）

利用性質二、性質三，就可以利用Kruskal演算法：利用到併查集的維護搭配路徑壓縮，可以快速判斷一個元素是否與另一個元素同屬一個集合（複雜度幾乎可以 $O(1)$ ，更準確來說是 $O(\alpha)$ ，Kruskal 總複雜度為 $O(ElogE)$ 另外還有一種實作方式Prim's algorithm，等等再看。

實作步驟

1. 初始化設定：設定好boss以及集合大小等參數

2. 對所有的邊依照權重排序：利用 $O(m \log m)$ 的時間排序，將邊依照權重由小到大加入MST中

3. 依序加入邊：以下會有兩種情況，可以用並查集+路徑壓縮（優化）判斷是否會形成環

Case 1: 如果加了這條邊形成環（查到有一樣的boss）

那這條邊會是這個環上的最大邊
根據 Cycle property，這條邊不會是MST的一部分

Case 2: 加了這條邊不會形成環

那這條邊是條橋，連接左右兩棵樹
根據 Cut Property，因為這條邊是這個 cut 上最小的邊
所以這條邊會是 MST 的一部分

4. 判斷是否合法： n個點所形成的樹會有n-1條邊，最小生成樹是一棵樹就必須滿足條件。

KRUSKAL'S Algorithm

圖片一

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 200005
#define ios ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
using namespace std;
int n,m,num[N],boss[N];
struct Node{
    int x,y,w;
}edge[N];
 
bool cmp(Node a, Node b){
    return a.w < b.w;
}
int findboss(int a){                    //尋找集合的老大（代表整個集合）
    if(a==boss[a])return a;
    return boss[a]=findboss(boss[a]);   //遞迴搭配路徑壓縮
}
 
signed main(){
    ios;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++){
        cin>>edge[i].x>>edge[i].y>>edge[i].w;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        num[i] = 1;
        boss[i] = i;
    }
    sort(edge,edge+m,cmp);                 //依照權重大小放入MST
    int result = 0,num_edge = 0;
    for(int i=0;i<m && num_edge<n;i++){    //樹必須滿足小於n-1條邊
        int a = findboss(edge[i].x),b = findboss(edge[i].y);
        if(a!=b){                          //boss不同可以放入MST（加入不會形成環by Cut Property）
            if(num[a]>=num[b]){            //執行啟發式合併
                boss[b] = a;
                num[a]+=num[b];
            }
            else{
                boss[a] = b;
                num[b]+=num[a];
            }
            result+=edge[i].w;
            num_edge++;
        }
    }
    cout<<result<<endl;
    //這邊可以判斷num_edge==n-1有沒有成立，不過題目是輸入都可以形成MST
}

Prim's Algorithm

是一種貪婪演算法，首先取任一點加入最小生成樹中，接著將連到的邊加入heap中，每一次取出heap中邊權重最小的邊，如果這一條邊連到的點尚未被走訪，則加入這一條邊為最小生成數。正確性證明則可用cut proprity證明每次都加入權重最小的邊即為最小生成數。

圖片二

#include <bits/stdc++.h>
#define Orz ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pdd pair<double,double>
#define int long long
#define ll long long
#define ld long double
#define N 200005
#define eps 1e-9
#define x first
#define y second
using namespace std;
int n,m;
bool visit[N];
 
struct node{
    int to,w;
};
vector<node> edge[N];
 
struct cmp{
    bool operator()(node a,node b){
        return a.w > b.w;
    }
};
 
signed main(){
    Orz;
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    cin>>n>>m;
    rep(i,0,m-1){
        int a,b,w;cin>>a>>b>>w;
        edge[a].push_back({b,w});
        edge[b].push_back({a,w});
    }
    priority_queue<node,vector<node>,cmp> pq;
    visit[1] = 1;
    for(auto i : edge[1])pq.push(i);
    int num_edge = 0,ans = 0;
    while(num_edge < n-1){
        node x = pq.top();pq.pop();
        if(visit[x.to])continue;
        visit[x.to] = 1;
        num_edge += 1;
        ans += x.w;
        for(auto i : edge[x.to]){
            pq.push(i);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

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